前言
由于复习系统优化理论，需要解常微分方程，然而数分早就还给陈克应老师了，于是在询问老师之后，推荐我看这本书«常微分方程教程-丁同仁»，所以就整理了一下这部分笔记。
由于数学基础实在太差，所以忽略所有的细节条件，计算过程中也可能会有大量不严谨的地方，不纠结这些细节。
恰当方程
定义
考虑如下形式的微分方程：
$$P(x,y) dx + Q(x,y)dy = 0$$
如果存在一个函数$\phi (x, y)$满足：
$$d\phi(x, y) = P(x, y)dx + Q(x,y)dy$$
则称原微分方程为恰当方程
那么就有3个问题：
- 如何判定一个是不是恰当方程？
- 如果是，如何求解？
- 如果不是，能否转换？
接下来的几节就是对这3个问题的回答。
恰当方程的判定
充要条件如下：
$$\frac{\alpha P(x,y)}{\alpha y} = \frac{\alpha Q(x, y)}{\alpha x}$$
恰当方程的求解
通解为：
$$\int^{x}{x{0}}P(x,y)dx + \int^{y}{y{0}}Q(x_{0}, y)dy = C$$
或者
$$\int^{x}{x{0}}P(x,y_{0})dx + \int^{y}{y{0}}Q(x, y)dy = C$$
剩下的小结是几类特殊形式的方程转换为恰当方程求解
变量分离的方程
如果方程具有以下形式：
$$X(x)Y_{1}(y) + X_{1}(x)Y(y)dy = 0$$
则可以等式两边同时除以$X_{1}(x)Y_{1}(y)$，得到：
$$\frac{X(x)}{X_{1}(x)}dx + \frac{Y(y)}{Y_{1}(y)}dy = 0$$
因此，可以得到它的通解为：
$$\int\frac{X(x)}{X_{1}(x)}dx + \int\frac{Y(y)}{Y_{1}(y)}dy = C$$
除此之外，所有令$X_{1}(x)Y_{1}(y) = 0$的解也都是原微分方程的解。
一阶线性微分方程
如果方程具有以下形式：
$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)$$
若$q(x) = 0$，则为齐次线性方程，否则为非齐次线性方程
齐次线性方程
$$dy + p(x)ydx = 0$$
等式两边同时除以y，可得
$$\frac{1}{y}dy + p(x)dx = 0$$
$$y = Ce^{-\int p(x) dx}$$
非齐次线性方程
等式两边同时乘以$e^{\int p(x)dx}$得：
$$e^{\int p(x)dx}dy + e^{\int p(x)dx}p(x)ydx = e^{\int p(x)dx}q(x)dx$$
$$d(e^{\int p(x)dx}y) = d\int q(x) e^{\int p(x)dx} dx$$
解得
$$y = e^{-\int p(x)dx}(C + \int q(x) e^{\int p(x)dx}dx)$$
这个方法称为积分因子法
几个特殊的初等变换法
齐次方程(不是齐次线性方程)
若
$$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$$
中$P(x, y), Q(x, y)$是$x, y$的同次齐次函数，即：
$$P(tx, ty) = t^{m}P(x, y)$$
$$Q(tx, ty) = t^{m}Q(x, y)$$
令 $$y = \mu x$$， 则有：
$$P(x,y) = x^{m}P(1, \mu)$$
$$Q(x, y) = x^{m}Q(1, \mu)$$
原方程可化为：
$$x^{m}[P(1, \mu) + \mu Q(1, \mu)]dx + x^{m + 1}Q(1, \mu)d\mu = 0$$
这是一个变量分离方程。
伯努利方程
$$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^{n}$$
两边同时乘以 $(1 - n)y^{-n}$ 可得：
$$(1 - n) y^{-n}\frac{dy}{dx} + (1 - n)y^{-n}p(x)y = (1- n)y^{-n}q(x)y^{n}$$
令$z = y^{-n}$
$$\frac{dz}{dx} + (1 - n)p(x)z = (1-n)q(x)$$
这是关于$z$的一阶线性方程
里卡蒂方程
略